『壹』 初中數學｜中考數學「阿氏圓」幾何模型詳細總結（精華）
中考數學「阿氏圓」幾何模型詳細總結（精華）
一、模型由來與定義
「阿氏圓」又稱「阿波羅尼斯圓」，是由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的一種幾何軌跡。已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個圓即為「阿氏圓」。
二、問題類型與解題思路
在中考數學中，「阿氏圓」問題通常涉及「PA+k·PB」型的最值問題。根據k值的不同和動點P所在圖像的不同，問題可以分為兩大類：
當k=1時：
問題可轉化為「PA+PB」之和最短問題。
可利用「飲馬問題」模型處理，即轉化為軸對稱問題。
當k取任意不為1的正數時：
若再以常規的軸對稱思想來解決問題則無法進行，需轉換思路。
根據動點P所在圖像的不同，進一步分為兩類：
點P在直線上運動，稱為「胡不歸」問題。
點P在圓周上運動，即為我們討論的「阿氏圓」問題。
三、阿氏圓的構造與性質
構造方法：
已知兩點A、B和比例系數k（k≠1）。
以A、B為端點作線段AB。
在AB的延長線或反向延長線上取一點C，使得AC:BC=k或BC:AC=k（根據k的值確定）。
以C為圓心，CA或CB為半徑作圓，則所得圓即為滿足條件的阿氏圓。
性質：
阿氏圓的圓心位於線段AB的延長線或反向延長線上。
阿氏圓的半徑等於圓心到A點或B點的距離（根據構造方法確定）。
阿氏圓上的任意一點P都滿足PA=k·PB或PB=k·PA（根據k的值確定）。
四、解題步驟與示例
解題步驟：
- 審題：明確題目中的已知條件和所求問題。
- 構造阿氏圓：根據已知條件和阿氏圓的構造方法，作出滿足條件的圓。
- 利用圓的性質解題：結合圓的性質（如垂徑定理、圓周角定理等）和題目中的其他條件，求解問題。
示例：
題目：在平面直角坐標系中，已知點A(1,0)和點B(-3,0)，點P是平面上的一個動點，且滿足PA=2PB。求點P的軌跡方程，並判斷其形狀。
解：
審題：已知點A(1,0)和點B(-3,0)，點P滿足PA=2PB。
構造阿氏圓：
以A、B為端點作線段AB，長度為4。
在AB的延長線上取一點C，使得AC=2AB=8，BC=AC-AB=5。
以C為圓心，CA=8為半徑作圓，則所得圓即為滿足條件的阿氏圓。
利用圓的性質解題：
由於點P在圓上，所以點P到圓心C的距離等於半徑8。
設點P的坐標為(x,y)，則根據兩點間距離公式有：(x-8)^2+y^2=64
這就是點P的軌跡方程，其形狀為一個圓。
五、總結與拓展
「阿氏圓」問題是中考數學中的難點和熱點，其關鍵在於理解阿氏圓的構造方法和性質，並能夠靈活運用這些性質來解決問題。在解題過程中，需要注意審題清晰、構造准確、利用性質得當。此外，還可以將「阿氏圓」問題與其他幾何模型（如「隱圓」模型）相結合，進行更深入的探討和拓展。
以下是相關圖片展示，幫助理解阿氏圓的構造和性質：
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這些圖片展示了阿氏圓在不同情境下的應用，有助於加深對阿氏圓的理解和掌握。
『貳』 瓜豆原理 | 幾何模型手冊
瓜豆原理 | 幾何模型手冊
瓜豆原理，是一種形象生動的幾何原理，其核心理念可以用中國古話「種瓜得瓜，種豆得豆」來概括。在幾何學中，當一個點（從動點）的運動軌跡由另一個點（主動點）的運動軌跡決定，並且兩者之間存在固定的夾角和邊長比例關系時，就形成了瓜豆原理。
一、認識模型
瓜豆原理的模型通常包含三個點：定點P、主動點A和從動點B。主動點A在某種軌跡（直線或圓）上運動，從動點B則隨著A的運動而運動，且保持與A之間的夾角∠APB和邊長比例PA:PB固定。
例1：當點A在圓O上運動時，如果連接PA並作線段PB⊥PA且PB=PA，那麼點B也將沿著一個圓運動。
通過以上例子，可以看出瓜豆原理在解決幾何問題中的強大作用。只要識別出符合瓜豆原理的模型，就可以快速確定從動點的運動軌跡，從而簡化問題求解過程。