‘壹’ 初中数学｜中考数学“阿氏圆”几何模型详细总结（精华）
中考数学“阿氏圆”几何模型详细总结（精华）
一、模型由来与定义
“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的一种几何轨迹。已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个圆即为“阿氏圆”。
二、问题类型与解题思路
在中考数学中，“阿氏圆”问题通常涉及“PA+k·PB”型的最值问题。根据k值的不同和动点P所在图像的不同，问题可以分为两大类：
当k=1时：
问题可转化为“PA+PB”之和最短问题。
可利用“饮马问题”模型处理，即转化为轴对称问题。
当k取任意不为1的正数时：
若再以常规的轴对称思想来解决问题则无法进行，需转换思路。
根据动点P所在图像的不同，进一步分为两类：
点P在直线上运动，称为“胡不归”问题。
点P在圆周上运动，即为我们讨论的“阿氏圆”问题。
三、阿氏圆的构造与性质
构造方法：
已知两点A、B和比例系数k（k≠1）。
以A、B为端点作线段AB。
在AB的延长线或反向延长线上取一点C，使得AC:BC=k或BC:AC=k（根据k的值确定）。
以C为圆心，CA或CB为半径作圆，则所得圆即为满足条件的阿氏圆。
性质：
阿氏圆的圆心位于线段AB的延长线或反向延长线上。
阿氏圆的半径等于圆心到A点或B点的距离（根据构造方法确定）。
阿氏圆上的任意一点P都满足PA=k·PB或PB=k·PA（根据k的值确定）。
四、解题步骤与示例
解题步骤：
- 审题：明确题目中的已知条件和所求问题。
- 构造阿氏圆：根据已知条件和阿氏圆的构造方法，作出满足条件的圆。
- 利用圆的性质解题：结合圆的性质（如垂径定理、圆周角定理等）和题目中的其他条件，求解问题。
示例：
题目：在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(-3,0)，点P是平面上的一个动点，且满足PA=2PB。求点P的轨迹方程，并判断其形状。
解：
审题：已知点A(1,0)和点B(-3,0)，点P满足PA=2PB。
构造阿氏圆：
以A、B为端点作线段AB，长度为4。
在AB的延长线上取一点C，使得AC=2AB=8，BC=AC-AB=5。
以C为圆心，CA=8为半径作圆，则所得圆即为满足条件的阿氏圆。
利用圆的性质解题：
由于点P在圆上，所以点P到圆心C的距离等于半径8。
设点P的坐标为(x,y)，则根据两点间距离公式有：(x-8)^2+y^2=64
这就是点P的轨迹方程，其形状为一个圆。
五、总结与拓展
“阿氏圆”问题是中考数学中的难点和热点，其关键在于理解阿氏圆的构造方法和性质，并能够灵活运用这些性质来解决问题。在解题过程中，需要注意审题清晰、构造准确、利用性质得当。此外，还可以将“阿氏圆”问题与其他几何模型（如“隐圆”模型）相结合，进行更深入的探讨和拓展。
以下是相关图片展示，帮助理解阿氏圆的构造和性质：
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这些图片展示了阿氏圆在不同情境下的应用，有助于加深对阿氏圆的理解和掌握。
‘贰’ 瓜豆原理 | 几何模型手册
瓜豆原理 | 几何模型手册
瓜豆原理，是一种形象生动的几何原理，其核心理念可以用中国古话“种瓜得瓜，种豆得豆”来概括。在几何学中，当一个点（从动点）的运动轨迹由另一个点（主动点）的运动轨迹决定，并且两者之间存在固定的夹角和边长比例关系时，就形成了瓜豆原理。
一、认识模型
瓜豆原理的模型通常包含三个点：定点P、主动点A和从动点B。主动点A在某种轨迹（直线或圆）上运动，从动点B则随着A的运动而运动，且保持与A之间的夹角∠APB和边长比例PA:PB固定。
例1：当点A在圆O上运动时，如果连接PA并作线段PB⊥PA且PB=PA，那么点B也将沿着一个圆运动。
通过以上例子，可以看出瓜豆原理在解决几何问题中的强大作用。只要识别出符合瓜豆原理的模型，就可以快速确定从动点的运动轨迹，从而简化问题求解过程。